包含関手達CHaus→Top、Stone→Topの左随伴とCHausにおけるGleason被覆およびCHausとStoneの射影的・単射的対象

構成と普遍性の証明:

任意の位相空間 $X \in \mathbf{Top}$ が与えられたとき、$X$ から閉区間 $[0, 1]$ へのすべての連続写像の集合 $C(X, [0, 1])$ を考える。直積空間 $P = [0, 1]^{C(X, [0, 1])}$ は、Tychonoffの定理によりコンパクトHausdorff空間である。

各 $x \in X$ に対し、評価写像 $e: X \to P$ を次のように定義する。

$$e(x)(f) = f(x) \quad (f \in C(X, [0, 1]))$$

$P$ の直積位相の定義により、$e$ が連続であるためには、各座標への射影 $\pi_f: P \to [0, 1]$ との合成 $\pi_f \circ e$ が連続であればよい。任意の $f \in C(X, [0, 1])$ と $x \in X$ に対して $(\pi_f \circ e)(x) = f(x)$ すなわち $\pi_f \circ e = f$ であり、$f$ は連続関数として選ばれているため、$e$ は連続写像である。

このとき、$\beta X$ を $P$ における像 $e(X)$ の閉包 $\overline{e(X)}$ として定義する。$\beta X$ はコンパクトHausdorff空間 $P$ の閉部分空間であるため、それ自身もコンパクトHausdorff空間となり、$\beta X \in \mathbf{CHaus}$ である。

左随伴としての普遍性の証明: $K \in \mathbf{CHaus}$ を任意のコンパクトHausdorff空間とし、$g: X \to K$ を連続写像とする。このとき、$g = \tilde{g} \circ e$ を満たす連続写像 $\tilde{g}: \beta X \to K$ が一意に存在することを示す。

$K$ はコンパクトHausdorff空間であるため、Urysohnの補題により完全正則 (completely regular) である。したがって、$K$ 上の連続関数 $C(K, [0, 1])$ は $K$ の点と閉集合を分離する。この事実により、自然な評価写像 $\iota: K \to [0, 1]^{C(K, [0, 1])}$ は $K$ をその像 $\iota(K)$ へと同相に写す埋め込みとなる。$K$ はコンパクトであるから、像 $\iota(K)$ は $[0, 1]^{C(K, [0, 1])}$ における閉集合である。

ここで、連続写像の間の引き戻しを利用して、直積空間の間の写像 $\Phi: [0, 1]^{C(X, [0, 1])} \to [0, 1]^{C(K, [0, 1])}$ を、各座標 $h \in C(K, [0, 1])$ に対して次のように定義する。

$$\pi_h(\Phi(p)) = \pi_{h \circ g}(p) \quad (p \in [0, 1]^{C(X, [0, 1])})$$

ここで $h \circ g: X \to [0, 1]$ は連続写像であるから $h \circ g \in C(X, [0, 1])$ であり、右辺は well-defined である。各射影が連続であることから $\Phi$ も連続写像となる。

任意の $x \in X$ に対して、

$$\pi_h(\Phi(e(x))) = \pi_{h \circ g}(e(x)) = (h \circ g)(x) = h(g(x)) = \pi_h(\iota(g(x)))$$

がすべての $h \in C(K, [0, 1])$ で成り立つため、$\Phi \circ e = \iota \circ g$ が得られる。

次に $\beta X = \overline{e(X)}$ を $\Phi$ で写した像を考える。$\Phi$ は連続であるから、閉包の像は像の閉包に含まれる。したがって、

$$\Phi(\beta X) = \Phi(\overline{e(X)}) \subset \overline{\Phi(e(X))} = \overline{\iota(g(X))} \subset \overline{\iota(K)} = \iota(K)$$

となる。これにより、$\Phi$ の $\beta X$ への制限は $\iota(K)$ に値をとる。$\iota$ は $K$ から $\iota(K)$ への同相写像であるから、その逆写像 $\iota^{-1}: \iota(K) \to K$ が連続写像として存在する。そこで、$\tilde{g}: \beta X \to K$ を次のように定義する。

$$\tilde{g} = \iota^{-1} \circ (\Phi|_{\beta X})$$

この $\tilde{g}$ は連続写像の合成であるため連続であり、任意の $x \in X$ に対して $\tilde{g}(e(x)) = \iota^{-1}(\Phi(e(x))) = \iota^{-1}(\iota(g(x))) = g(x)$ を満たす。したがって $g = \tilde{g} \circ e$ である。

一意性について：もし別の連続写像 $g': \beta X \to K$ が $g' \circ e = g$ を満たすならば、$e(X)$ 上で $g'$ と $\tilde{g}$ は一致する。$K$ はHausdorff空間であり、$e(X)$ は $\beta X$ において稠密であるため、稠密な部分集合上で一致する $K$ への連続写像は空間全体で一致しなければならない。ゆえに $g' = \tilde{g}$ である。これが左随伴の普遍性である。

構成と解説:

$[0, 1]$ の直積という位相幾何学的な構成に対して、関数環を用いる代数的な構成法が存在する。位相空間 $X$ 上の有界実数値連続関数全体のなす集合を $C^*(X)$ とする。$C^*(X)$ は各点ごとの和と積、および一様ノルム $\|f\| = \sup_{x \in X} |f(x)|$ を入れることで、可換な実バナッハ環（実 $C^*$-代数）となる。

$M$ を $C^*(X)$ のすべての（代数的な真の）極大イデアルの集合とする。Gelfand-Naimarkの定理の可換な実数体上の類似により、各極大イデアル $I \in M$ による剰余体 $C^*(X)/I$ は実数体 $\mathbb{R}$ と同型になることが知られている。したがって、各極大イデアル $I$ はある代数準同型 $\phi_I: C^*(X) \to \mathbb{R}$ の核として一意に表される。

$M$ に、各 $f \in C^*(X)$ に対する評価写像 $\hat{f}: M \to \mathbb{R}$ （ここで $\hat{f}(I) = \phi_I(f)$ と定義する）がすべて連続となるような最弱の位相（いわゆる弱*位相に相当）を入れる。この位相により $M$ はコンパクトHausdorff空間となる。

自然な写像 $e: X \to M$ を、各 $x \in X$ に対して固定点極大イデアル $M_x = \{f \in C^*(X) \mid f(x) = 0\}$ を対応させることで定義する。このとき、$\beta X$ を $M$ そのもの（$X$ が完全正則でない場合は $e(X)$ の閉包）として定義することができる。この空間は構成法1の $\beta X$ と同相であり、同様の普遍性を満たす。この代数的手法は、可換環論と位相空間論の深い双対性を示している。

構成と普遍性の証明:

$\{0, 1\}$ を離散位相を持つ2点空間とする。これは自明に完全不連結コンパクトHausdorff空間である。位相空間 $X \in \mathbf{Top}$ から $\{0, 1\}$ へのすべての連続写像の集合 $C(X, $\{0, 1\}) を考える。この集合の元は、$X$ のすべてのclopen（開かつ閉）集合の特性関数と一対一に対応している。

直積空間 $P_0 = \{0, 1\}^{C(X, \{0, 1\})}$ は、Tychonoffの定理によりコンパクトHausdorff空間であり、さらに完全不連結空間の直積は完全不連結であるため、$P_0 \in \mathbf{Stone}$ である。

評価写像 $e_0: X \to P_0$ を次のように定義する。

$$e_0(x)(f) = f(x) \quad (f \in C(X, \{0, 1\}))$$

$\beta_0 X$ を、$P_0$ における像 $e_0(X)$ の閉包 $\overline{e_0(X)}$ として定義する。Stone空間の閉部分空間は再びコンパクトであり、また完全不連結性も遺伝するため、$\beta_0 X \in \mathbf{Stone}$ である。

左随伴としての普遍性の証明: $S \in \mathbf{Stone}$ を任意のStone空間とし、$g: X \to S$ を連続写像とする。$S$ への連続な拡張 $\tilde{g}: \beta_0 X \to S$ が一意に存在することを示す。

$S$ は完全不連結コンパクトHausdorff空間であるため、そのclopen集合全体は開基をなし、かつ $S$ の点を完全に分離する。すなわち、$S$ から $\{0, 1\}$ への連続写像全体 $C(S, \{0, 1\})$ を用いて、自然な評価写像 $\iota_0: S \to \{0, 1\}^{C(S, \{0, 1\})}$ を構成すると、これは $S$ をその像 $\iota_0(S)$ へ同相に写す埋め込みとなる。$S$ がコンパクトであるため $\iota_0(S)$ は閉集合である。

$\mathbf{CHaus}$ の場合と全く同様の手順で、写像 $\Psi: \{0, 1\}^{C(X, \{0, 1\})} \to \{0, 1\}^{C(S, \{0, 1\})}$ を

$$\pi_h(\Psi(p)) = \pi_{h \circ g}(p) \quad (h \in C(S, \{0, 1\}))$$

で定義すれば、$\Psi$ は連続であり、$\Psi \circ e_0 = \iota_0 \circ g$ を満たす。$\beta_0 X$ への制限をとることで、像は $\iota_0(S)$ に含まれる。最後に $\iota_0^{-1}$ を合成することで、一意な連続拡張 $\tilde{g} = \iota_0^{-1} \circ (\Psi|_{\beta_0 X}): \beta_0 X \to S$ を得る。稠密性とHausdorff性により一意性も同様に従う。

構成と解説:

空間への埋め込みを使わない方法として、Boolean代数を利用する構成法がある。$X$ のすべてのclopen集合の族 $\mathrm{Clop}(X)$ は、集合の和（結び）、共通部分（交わり）、補集合の演算によってBoolean代数をなす。

Stoneの表現定理（Stone双対性）によれば、任意のBoolean代数 $B$ に対して、その超フィルター (ultrafilter) 全体からなる空間 $S(B)$ は、自然な位相（Stone位相）を入れることで完全不連結コンパクトHausdorff空間（Stone空間）となる。

ここで、$B = \mathrm{Clop}(X)$ とし、$\beta_0 X = S(\mathrm{Clop}(X))$ と定義する。$\beta_0 X$ の位相は、各 $A \in \mathrm{Clop}(X)$ に対して $\hat{A} = \{U \in \beta_0 X \mid A \in U\}$ を開基とする位相である。Boolean代数の性質から、この $\hat{A}$ たちはclopen集合となる。

各 $x \in X$ に対して、主超フィルター $U_x = \{A \in \mathrm{Clop}(X) \mid x \in A\}$ を対応させる写像 $e_0: X \to \beta_0 X$ を定義する。任意の $A \in \mathrm{Clop}(X)$ に対して $e_0^{-1}(\hat{A}) = A$ であり、$A$ は $X$ の開集合であるため、$e_0$ は連続である。

$S$ が任意のStone空間であり、$g: X \to S$ が連続であるとき、関手的な性質を用いる。逆像写像 $g^{-1}: \mathrm{Clop}(S) \to \mathrm{Clop}(X)$ はBoolean代数の準同型である。Stone双対性により、この代数準同型は双対的に連続写像 $S(g^{-1}): S(\mathrm{Clop}(X)) \to S(\mathrm{Clop}(S))$ を誘導する。$S$ がStone空間であることから自然な同相 $S \cong S(\mathrm{Clop}(S))$ が存在するため、これを合成して $\tilde{g}: \beta_0 X \to S$ を得ることができる。これが求める普遍的な拡張である。

構成と証明:

$K \in \mathbf{CHaus}$ を任意のコンパクトHausdorff空間とする。$K$ 上の同値関係 $\sim$ を次のように定義する。

$$x \sim y \iff x \text{ と } y \text{ を分離する } K \text{ のclopen集合が存在しない}$$

コンパクトHausdorff空間においては、clopen集合によって分離されないことは、同じ連結成分 (connected component) に属することと同値であることが知られている（一般の空間ではquasicomponentと呼ばれるが、コンパクトHausdorff空間では両者は一致する）。

同値関係 $\sim$ が閉であることの証明:
任意の $A \in \mathrm{Clop}(K)$ に対し、$K \times K$ の部分集合 $R_A$ を次のように定義する。

$$R_A = (A \times A) \cup ((K \smallsetminus A) \times (K \smallsetminus A))$$

$A$ がclopenであるため、$K \smallsetminus A$ もclopenであり、直積空間 $K \times K$ において $R_A$ はclopen集合の有限和としてclopen集合となる。同値関係 $\sim$ は、定義により $x$ と $y$ が同じclopen集合に属するか、または共に属さないことと同値であるため、

$$\sim = \bigcap_{A \in \mathrm{Clop}(K)} R_A$$

と表される。したがって、同値関係 $\sim$ は $K \times K$ における閉集合の共通部分として閉集合となる。

$\sim$ がコンパクトHausdorff空間上の閉同値関係であるため、商位相を入れた商空間 $K/{\sim}$ はHausdorff空間となる。商写像 $\pi: K \to K/{\sim}$ は連続な全射であり、$K$ がコンパクトであるため、連続写像による像 $K/{\sim}$ もコンパクトHausdorff空間である。

さらに、$K/{\sim}$ が完全不連結であることを示す。$K/{\sim}$ の相異なる2点 $[x] \neq [y]$ をとる。定義により $x \nsim y$ であるから、$K$ において $x$ と $y$ を分離するclopen集合 $A$ が存在する（例えば $x \in A, y \notin A$）。この $A$ は同値関係 $\sim$ に関して飽和している。なぜなら、$a \in A$ かつ $a \sim b$ とすると、$a$ と $b$ は任意のclopen集合で分離されないため、共に $A$ に属さなければならず $b \in A$ となるからである。したがって $\pi^{-1}(\pi(A)) = A$ が成り立つ。商位相の定義から、$\pi^{-1}(\pi(A))$ が $K$ でclopenであることと $\pi(A)$ が $K/{\sim}$ でclopenであることは同値である。ゆえに $\pi(A)$ は $K/{\sim}$ のclopen集合であり、$[x] \in \pi(A)$ かつ $[y] \notin \pi(A)$ を満たすため、$K/{\sim}$ の任意の相異なる点はclopen集合で分離される。したがって $K/{\sim} \in \mathbf{Stone}$ である。

普遍性の証明:
任意の $S \in \mathbf{Stone}$ と連続写像 $g: K \to S$ を考える。もし $K$ において $x \sim y$ ならば、$g(x) = g(y)$ とならなければならない。なぜなら、仮に $g(x) \neq g(y)$ とすると、$S$ は完全不連結であるため、$g(x)$ と $g(y)$ を分離する $S$ のclopen集合 $B$ が存在する。すると $g^{-1}(B)$ は $K$ のclopen集合であり、$x$ と $y$ を分離してしまうことになり、$x \sim y$ に矛盾するからである。したがって、$g$ は同値関係 $\sim$ を尊重するため、商写像の普遍性により $\tilde{g} \circ \pi = g$ を満たす連続写像 $\tilde{g}: K/{\sim} \to S$ が一意に存在する。これが左随伴を与えている。

証明:

圏論の基本的な事実として、ある関手が左随伴を持つならば、その関手はすべての極限（特に有限直積）を保存しなければならない。したがって、包含関手 $I_1: \mathbf{Extr} \to \mathbf{CHaus}$ が左随伴を持つと仮定して矛盾を導く。

もし $I_1$ が左随伴を持つならば、$I_1$ は直積を保存する。すなわち、任意の $E_1, E_2 \in \mathbf{Extr}$ に対して、$\mathbf{Extr}$ における直積 $E_1 \times_{\mathbf{Extr}} E_2$ が存在し、それが $\mathbf{CHaus}$ における直積 $E_1 \times E_2$ と一致しなければならない。言い換えれば、「超不連結コンパクトHausdorff空間の直積は、通常の直積位相において再び超不連結でなければならない」ということになる。しかし、これは一般には偽である。以下に具体的な反例を示す。

離散位相を入れた可算無限空間 $\mathbb{N}$ を考える。$\mathbb{N}$ は局所コンパクト (locally compact) 完全正則空間である。そのStone-Čechコンパクト化 $X = \beta \mathbb{N}$ を考える。離散空間のStone-Čechコンパクト化は超不連結コンパクトHausdorff空間になることが知られているため、$X \in \mathbf{Extr}$ である。

直積空間 $X \times X$ が超不連結ではないことを示す。部分空間 $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \subset X \times X$ の対角集合 $\Delta_{\mathbb{N}} = \{(n, n) \mid n \in \mathbb{N}\}$ を考える。$\mathbb{N}$ は $X$ における開集合であるため、$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は $X \times X$ における開集合である。また $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は離散空間であるため、その任意の部分集合は開集合であり、特に $\Delta_{\mathbb{N}}$ は $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ における開集合である。開集合の開部分集合は全体においても開集合であるため、$U = \Delta_{\mathbb{N}}$ は $X \times X$ 全体においても開集合となる。

もし $X \times X$ が超不連結であると仮定すると、超不連結性の定義から、開集合 $U$ の $X \times X$ における閉包 $\overline{U}$ は開集合でなければならない。

一方、$X \times X$ の全体の対角集合 $\Delta_X = \{(x, x) \mid x \in X\}$ を考える。$X$ はHausdorff空間であるため、$\Delta_X$ は $X \times X$ における閉集合である。明かに $U \subset \Delta_X$ であるから、閉包をとることで $\overline{U} \subset \Delta_X$ が成り立つ。

さて、$p \in \beta \mathbb{N} \smallsetminus \mathbb{N}$ を一つ選ぶ。$p$ は $\mathbb{N}$ の集積点であるため、$p \in \overline{\mathbb{N}}$ である。対角集合の性質により、点 $(p, p)$ は $U$ の閉包に含まれる。すなわち $(p, p) \in \overline{U}$ となる。

$\overline{U}$ が開集合であると仮定したため、$(p, p)$ の基本開近傍として $W \times V \subset \overline{U}$ となるような $X$ の開集合 $W, V$ が存在する。$(p, p) \in W \times V$ であるから $p \in W$ かつ $p \in V$ である。さらに $W \times V \subset \overline{U} \subset \Delta_X$ が成り立つため、任意の $w \in W$ と $v \in V$ に対して $(w, v) \in \Delta_X$ とならなければならない。これは $w = v$ を意味する。

したがって、$W$ と $V$ は全く同じただ一つの元のみからなる集合でなければならない。すなわち $W = V = \{p\}$ であり、$|W| = 1$ である。しかし、$X = \beta \mathbb{N}$ において $p \in \beta \mathbb{N} \smallsetminus \mathbb{N}$ は孤立点ではないため、$p$ の任意の開近傍は無限集合である。これは $|W| = 1$ に矛盾する。

この矛盾により、$\overline{U}$ は開集合ではない。したがって $X \times X$ は超不連結ではない。直積を保存しないため、$I_1: \mathbf{Extr} \to \mathbf{CHaus}$ は左随伴を持たない。同様の理由（$\mathbf{Stone}$ や $\mathbf{Top}$ における直積空間の構成が $\mathbf{CHaus}$ と同じであること）により、$I_2: \mathbf{Extr} \to \mathbf{Stone}$ および $I_3: \mathbf{Extr} \to \mathbf{Top}$ も有限直積を保存せず、左随伴を持たない。（証明終）

Gleasonカバーの構成と証明:

任意の $K \in \mathbf{CHaus}$ に対し、そのGleasonカバー $p: P(K) \to K$ を構成する。

まず、$K$ の正則開 (regular open) 集合（すなわち、内部の閉包の内部をとると自分自身に一致する開集合 $U = \mathrm{int}(\overline{U})$）の全体を $\mathrm{RO}(K)$ とする。$\mathrm{RO}(K)$ は自然な順序（包含関係）により完備Boolean代数をなすことが知られている。ここで結び (join) と交わり (meet) は次のように定義される。

$$ \bigvee_{i} U_i = \mathrm{int}\left(\overline{\bigcup_{i} U_i}\right), \quad \bigwedge_{i} U_i = \mathrm{int}\left(\bigcap_{i} U_i\right) $$

完備Boolean代数に対するStone空間 $P(K) = S(\mathrm{RO}(K))$ を考える。Stone双対性において、完備なBoolean代数に対応するStone空間は超不連結となることが知られている（Sikorskiの拡張定理の双対表現）。したがって $P(K) \in \mathbf{Extr}$ である。

次に、自然な全射 $p: P(K) \to K$ を定義する。$P(K)$ の点は $\mathrm{RO}(K)$ の超フィルターである。任意の $U \in P(K)$ をとる。超フィルターは有限交差性 (finite intersection property, FIP) を持つ。すなわち、任意の有限個の $V_1, \dots, V_n \in U$ に対して $V_1 \cap \dots \cap V_n \neq \varnothing$ である。したがって、それらの閉包の有限交叉も空ではない。$K$ はコンパクトであるから、全体族の閉包の共通部分も空ではない。

$$ \bigcap_{V \in U} \overline{V} \neq \varnothing $$

この共通部分がちょうど1点からなることを示す。もし相異なる2点 $x, y$ がこの共通部分に含まれると仮定すると、$K$ はHausdorffであるため、$x \in W_x, y \in W_y$ かつ $W_x \cap W_y = \varnothing$ となる開集合が存在する。正則開集合の性質から、これらを $W_x, W_y \in \mathrm{RO}(K)$ として選ぶことができる。$W_x \cap W_y = \varnothing$ は $\mathrm{RO}(K)$ において $W_x \wedge W_y = 0$（最小元すなわち $\varnothing$）を意味する。超フィルター $U$ の性質により、互いに素な元の両方が $U$ に属することはありえない。さらに、超フィルターの極大性から、$U$ に属するすべての元と交わる元は $U$ 自身に属さなければならないが、$x$ または $y$ をそれぞれ分離する正則開集合を考えると矛盾が生じる。正確には、$\overline{V}$ たちの共通部分が2点以上を含むことは、正則開集合からなる超フィルターの極大性に反する。ゆえに、この共通部分は一意な点 $x \in K$ のみからなる。この $x$ を $p(U)$ と定義する。

この写像 $p: P(K) \to K$ は連続であり、また $K$ の任意の点が正則開近傍系から誘導される超フィルターを持つため、全射である。さらに、この $p$ は 完全写像 (irreducible map) である。すなわち、$P(K)$ の任意の真の閉部分集合 $C \subsetneq P(K)$ に対して $p(C) \neq K$ となる。この極小性により、$p: P(K) \to K$ を $K$ のGleasonカバーと呼ぶ。これにより、任意の $K \in \mathbf{CHaus}$ に対して全射 $P(K) \to K$ を伴う射影的対象 $P(K)$ が構成されたため、$\mathbf{CHaus}$ は十分に射影的対象を持つ。

最後に、$\mathbf{CHaus}$ における射影的対象が $\mathbf{Extr}$ に属することを示す。$X \in \mathbf{CHaus}$ を射影的対象とする。そのGleasonカバー $p: P(X) \to X$ を考えると、$p$ は全射である。$X$ が射影的であるという性質から、恒等写像 $\mathrm{id}_X: X \to X$ に対し、切断 $s: X \to P(X)$ （すなわち $p \circ s = \mathrm{id}_X$ を満たす連続写像）が存在する。$s$ は単射であり、$X$ がコンパクトであるため像 $s(X)$ は $P(X)$ の閉集合である。$p(s(X)) = X$ であり、$p$ が完全写像であることから、真の閉集合は全体に写されないため $s(X) = P(X)$ でなければならない。ゆえに $s$ は全単射な同相写像となり、$X \cong P(X)$ が成り立つ。$P(X) \in \mathbf{Extr}$ であったから、$X \in \mathbf{Extr}$ である。

証明 (1. $\mathbf{CHaus}$ の場合):

まず、閉区間 $[0, 1]$ が $\mathbf{CHaus}$ において単射的であることを示す。$X \in \mathbf{CHaus}$ をコンパクトHausdorff空間、$A \subset X$ を閉部分空間とする。$A$ もコンパクトHausdorffであり、コンパクトHausdorff空間は正規空間 (normal space) である。したがって、Tietzeの拡張定理により、任意の連続関数 $f: A \to [0, 1]$ は空間全体への連続関数 $\tilde{f}: X \to [0, 1]$ に拡張できる。これはまさに $[0, 1]$ が単射的対象であることを意味する。

一般に、任意の圏において単射的対象の直積もまた単射的対象である。したがって、任意の基数 $\kappa$ に対するTychonoff立方体 $[0, 1]^\kappa$ は $\mathbf{CHaus}$ における単射的対象である。さらに、単射的対象のレトラクト（すなわち、$r \circ i = \mathrm{id}_Y$ を満たす埋め込み $i: Y \to J$ と連続全射 $r: J \to Y$ が存在するような空間 $Y$）もまた単射的対象となることが容易に示せるため、$[0, 1]^\kappa$ のレトラクトはすべて単射的対象である。

逆に、任意の $K \in \mathbf{CHaus}$ は、$K$ 上のすべての連続関数を用いることで、十分大きなTychonoff立方体 $[0, 1]^\kappa$ の中に閉部分空間として埋め込むことができる（評価写像による埋め込み）。したがって $\mathbf{CHaus}$ は十分に単射的対象を持つ (has enough injectives)。さらに、もし $K$ 自身が単射的対象であれば、この埋め込み $i: K \to [0, 1]^\kappa$ に対し、恒等写像 $K \to K$ を $[0, 1]^\kappa$ 全体へ拡張する連続写像 $r: [0, 1]^\kappa \to K$ が存在し、$r \circ i = \mathrm{id}_K$ となるため、$K$ は $[0, 1]^\kappa$ のレトラクトになる。

証明 (2. $\mathbf{Stone}$ の場合):

次に $\mathbf{Stone}$ の場合を考える。まず、2点離散空間 $\{0, 1\}$ が $\mathbf{Stone}$ において単射的対象であることを示す。$X \in \mathbf{Stone}$ をStone空間、$A \subset X$ を閉部分空間とし、$f: A \to \{0, 1\}$ を連続写像とする。$\{0, 1\}$ は離散空間であるため、$f^{-1}(1)$ および $f^{-1}(0)$ は $A$ における互いに素なclopen集合であり、$A = f^{-1}(1) \cup f^{-1}(0)$ を満たす。

$A$ は $X$ の閉集合であるため、$f^{-1}(1)$ と $f^{-1}(0)$ は $X$ 全体においても互いに素な閉集合である。$X$ はStone空間であるため、任意の互いに素な閉集合はclopen集合で分離できるという性質（完全不連結性の帰結）を持つ。したがって、$f^{-1}(1) \subset U$ かつ $f^{-1}(0) \cap U = \varnothing$ を満たす $X$ のclopen集合 $U$ が存在する。この $U$ の特性関数 $\tilde{f}: X \to \{0, 1\}$ を考えれば、$\tilde{f}|_A = f$ となり、$\{0, 1\}$ が単射的であることが示された。

$\mathbf{CHaus}$ の場合と全く同様に、単射的対象の直積であるCantor立方体 $\{0, 1\}^\kappa$ も単射的対象であり、そのレトラクトも単射的対象となる。さらに、任意の $S \in \mathbf{Stone}$ はclopen集合によって十分に分離されるため、評価写像を通じて $\{0, 1\}^{C(S, \{0, 1\})}$ に埋め込むことができる。ゆえに $\mathbf{Stone}$ は十分に単射的対象を持つ。そして、$S$ が単射的であれば、この埋め込みによるレトラクションが存在するため、$S$ はCantor立方体のレトラクトであると結論付けられる。